Перейдем теперь к отысканию аналитических выражений для частоты в различных предельных случаях. Как уже отмечалось, в отличие от работ [3-6], где ионы считались неподвижными, мы учитываем динамику ионов в волне. Согласно формулам (10)-(11), тот факт, что мы принимаем во внимание движение ионов в

волне, отражается в зависимости частоты волны от параметра U и именно эта зависимость будет у нас на первом плане. Сначала рассмотрим предельный случай

JU -►да. Затем рассмотрим волны в плазме, в которой значение параметра JU

конечно, но велико: U >> 1. Это наиболее типичный случай, если иметь в виду космическую плазму или плазму, созданную в лабораторных условиях.

3.1. Приближение неподвижных ионов (в = 1IJU = 0).

В этом приближении из (9) в пределе jU - да получим

Vo (.у) = Ру - л/(у + .)2 -1 + ./Р,(16)

где Voo (.у) = V(.у, да). Интеграл (11) с функцией Vo (.у) c помощью эйлеровой подстановки д/(у + .)2 - 1 = x2 -(у+ . можно привести к виду:

2Р г (x - x ) dx

.+лIа

S-Voo(.,у)W(a2 -x2)(x2 -b2)

где

a2 =у(1+Р)(1 + Рр WР2P2 + 2РР ),

b2 =у(1+Р)(1 + Рр Р2P2 + 2Рр ). JOT выражается через полный эллиптический интеграл второго рода E(k):

Joo=(2Ру3/2Vу(1 -Р) aE(k),

где

k = [1- (1 + Рр -4Р2р2 + 2Рр )2]1/2.

Таким образом, частота в приближении неподвижных ионов представляется формулой

С(8у= Ср0 (я/2) (1 + Рр-л1Р2р2 + 2Рр )1/2/E(k),(17)

где величина Рр принимает значения от 0 до да.

Прежде, чем анализировать формулу (17), мы сделаем уточнение понятий "нерелятивистское приближение" или "нерелятивистский случай", применяемых ниже. Оба эти понятия мы применяем для волн, движущихся с такими скоростями,

для которых параметры Р и у удовлетворяют неравенствам: Р<< 1, у> 1. Таким образом, трактовка нерелятивизма в нашем случае отличается от классической. Как известно, в классической физике, переходя к нерелятивизму, устремляют скорость

света к бесконечности, т.е. в классике Р= 0.

Перейдем к подробному анализу формулы (17). На первый взгляд, структура формулы (17) осложнена присутствием в ней эллиптического интеграла E(k), однако при более детальном рассмотрении видно, что влияние E(k) не так уж и

существенно. Действительно, при изменении величины Рр от 0 до да, т.е. при вариации модуля k от 0 до 1, величина эллиптического интеграла E(k) находится в

пределах от п/2 до 1, поэтому можно считать, что величина E(k) порядка единицы, а формулу (17) можно представить в виде

С (8) &Cpo (п/2)(1 + Pp-yjP2р2 + 2вр )1/2.(18)

Значение частоты, вычисленное по достаточно простой формуле (18), в самом

худшем случае лишь коэффициентом п/2 & 1.6 (т.е. с точностью & 60 %) отличается от точного значения (17).

Из формул (17)-(18) мы видим, что частота уменьшается как с ростом скорости, так и с ростом амплитуды волн. Для волн, распространяющихся с

нерелятивистскими скоростями (в << 1), величина вр << 1 и, полагая )- 1, из (17) получим

с (8в) - (1 - 3 в® - (1 - -3 в2 S).(19)

816

Как видим, частота в этом случае мало отличается от Cp0. При нарастании величины

вр от 0 до 1, т.е. при вр - 1, частота С остается близкой к Cp0 (например, при

вр = 1 С - 0.7Cp0). Так как вр - ё • () - 1), то условие вр - 1 можно записать как

() - 1) - 1/ ё. Из последнего соотношения следует, что для волн с предельно

возможной амплитудой, т.е. при ё = 1, параметр ) - 2, если же ё << 1, то

возможен случай, когда ) >> 1. Отсюда следует интересный вывод: частота

плазменных волн близка к частоте линейных колебаний в плазме Cp0 не только для

волн, имеющих малую скорость (в << 1), но и для волн, движущихся с релятивистскими скоростями, но малой (по сравнению с предельной) амплитудой электрического поля. На самом деле этот вывод есть следствие того, что частота,

согласно (17), зависит от комбинации вр -$•()- 1), т.е. фактически от произведения параметра, пропорционального амплитуде волны, на параметр, зависящий от скорости волны.

При дальнейшем увеличении величины вр, когда она становится больше единицы, величина эллиптического интеграла E(k) отличается от единицы уже

меньше, чем на 10% (так, при вр = 1 величина E(k) - 1.08), поэтому при вр > 1 вычисление частоты волн с хорошей точностью можно производить по формуле

(18). Для релятивистских волн () >> 1, в & 1) с величиной параметра )р >> 1, частота определяется выражением

С (8)))&Cp0 п / (22)8 ),(20)

при этом, если амплитуда волн отлична от нуля, а их скорость приближается к

скорости света (fi -» 1, да), то частота волн стремится к нулю.

В заключение данного раздела отметим, что из (17), как и следует ожидать, имеем результаты, впервые полученные А.И.Ахиезером и др. в приближении бесконечно тяжелых ионов, для двух предельных случаев: 1) «классическое»

нерелятивистское приближение (в = 0) - частота в этом случае С = Cp0 [3]; 2)

релятивистские волны () >> 1, в& 1) с предельными амплитудами (8 & 1),

для которых частота С ()) & Cp0 п / (2у/2) ) [4, 5]. Как видим, в первом случае

частота не зависит ни от скорости, ни от амплитуды волны и определяется частотой линейных колебаний в плазме. Во втором случае частота монотонно уменьшается с

ростом скорости волн.

3.2. Наиболее типичный и распространенный случай Jl>>\.

Основная цель, стоящая перед нами в этом разделе, - выяснить зависимость частоты от параметра Jl, предполагая, что величина Jl конечна, но велика: Jl >> 1. Именно по той причине, что jU велико, интуитивно ясно, что в этом случае при

каких-то значениях параметров S и у должно «работать» приближение, не

учитывающее динамику ионов, рассмотренное нами выше. В самом деле, нетрудно показать, что это приближение годится при изучении волн, распространяющихся с

такими скоростями, для которых при любых Sвыполняется условие: у << Jl или

даже более мягкое условие у < jU. Действительно, при выполнении этих

неравенств пределы интегрирования в (11) в зависимости от величины у

определяются формулами (13) - (15). При этом для функции V(.у, /л),

определяемой выражением (9), слагаемые под корнем, содержащие параметр U, много меньше 1, поэтому, представляя этот корень в виде ряда и отбрасывая малые

члены, содержащие квадратичные и более высокие степени ., мы получим, что V(

.у, /) & Vo (.,у), где VOo (.,у) определяется соотношением (16), т.е. для частоты мы приходим к формуле (17), справедливой в приближении бесконечно тяжелых ионов.

Принимая во внимание эти соображения, мы вначале проанализируем поведение волн, движущихся с малыми, нерелятивистскими скоростями, а затем рассмотрим свойства волн, распространяющихся с релятивистскими и ультрарелятивистскими скоростями. При этом выясним, какой вклад в значение

частоты волн дает учет конечных значений U .

3.2.1. Нерелятивистский случай.

В грубом приближении для волн с малыми скоростями, т.е. при у& 1 << U заведомо можно применять результаты п.3.1. Однако мы попытаемся выяснить, как

меняется частота при учете конечного U, какова тенденция этого изменения. Учитывая, что в этом случае пределы интегрирования в интеграле (11) определяются формулами (13) и, следовательно, значения переменной . в подинтегральном

выражении (11) много меньше единицы, функцию V(.,у, л) представим в виде

V.J, в) = Ру - 4(у+¥)2 - 1 + .Р + в.2/(2Р3у3), (21) (в = 1 << 1). Далее, считая в (21) слагаемое с параметром в как малую добавку,

разложим интеграл (11) с функцией (21), который мы обозначим как J(S,у, в), в ряд Тейлора около точки в = 0, ограничивая сумму ряда членом, пропорциональным в: