/0 + z0s = x0j°

p - ф0

решение которых дается формулами s0 = z-1 (XT0 - /0)

где X = P - Ф0 + )(17)

б) если принять

f = f0 + (/0s) ф = ф0 + (т0s)+ -stws,

2

то уравнения (16) принимают вид

T0 + w0s = x0 (t0s)+ 2 £tw0s = p - ф0

решение которого дается формулами

s = W0-1 (ц,/0 -T0)

где „ = 2( P - Ф0) + (tTz-1t)0

Итерационная процедура поиска нулевого приближения x0 с использованием упрощенного аналитического выражения ф для показателя

функционирования и найденного решения x упрощенной задачи строятся по схеме, выполненной по формуле (17):

xl+1 = xl +sl, l = 0,1,2,...

sl = Xql - bl, a = Z 1T, b = Z~1/

где P Ф + B(18)

X = P - Ф + Bl, A = (ta), В = (tb)

A0

при сходимости процедуры

Итерационная процедура уточнения x0 с использованием приближенного градиента Ч = gradФ и значений ), определяемых на имитационной модели

в последовательности получаемых точек, может быть построена аналогично, однако легко показать, что при замене фк на ф° будет справедливо

k P - Фа

е

(Pv)" > поэтому

xk+1 = xk +sk, k = 0,1,2,...

можно

предложить

схему

где

k k p - ф,

(19)

что следует из условия (е\ = p - фк.

0 к н

Условия сходимости процедуры x ; x - x имеют вид ju + Mt0 < 1

U = max

(Ф -УФ, b) I

где

M = max

7-

(ФЬ)к

fbTwb)k\

(20)

и

2(ФЬ))

(0 = P -Действительно

p - фк+1 = (p - Фк )-(Фк+1 - фк ) = (( - Фк )-(УФк )-1 Ptw4

или с учетом (19) и равенства (pksk )= P - Фк

(btwb)k

или, обозначая (к = р - Фк , tk+1 < u + Mtk2 = (ju + Mtk )tk при условии U + Mt0 = L < 1, t1 <(u + Mt0 ))0 = Lt0 < t0 и tk < Lkt0, следовательно, при к -ос будет tk -- 0, т.е. lim sk = 0, а

*0

x - x =

к--<x

к=0

*0

x - x <

\(фь)р\ 1 - l

t

0

Реализация схемы (19) при соблюдении условия (20) обеспечивает

k

быструю (в геометрической прогрессии) сходимость последовательности x к конечному вектору x *.

k *

Отметим, что при x x из линеаризованных уравнений Куна-Таккера следует

f * = я*Ч*

ф* = p [0oPt =P

а

Из vф = Ч(1 + ju) по теореме о малом параметре [....] следует x* = xopt + juy. Тогда

F* - fopt = u(f0pty)+jJ22 (ytzopty)

Ф* - Фор( = /а((Фopty)+u1 (ytwopty) Т.к. Ф* -фор, = 0 имеем v)?)(ytw0pty) и f* -fopt (yt Uy), где U = Zopt - koptwopt

Значение функции стоимости F в предельной точке отличается от

оптимального на величину второго порядка малости относительно разности точного и приближенного градиентов функции Ф.

Таким образом, линеаризация условий оптимальности позволяет свести решение ЗСТ к двум итерационным процедурам - поиска и уточнения нулевого приближения с аналитическим расчетом поправок и условий сходимости. Предложенные процедуры обладают высокой скоростью сходимости, а значение функции стоимости в предельной точке очень мало отличается от оптимального /32/.

Литература

1. Ванг С.Б., Смирнов Ю.М. Обоснование методы субоптимального распределения требований к характеристикам проектируемых систем.