где A= c1/(1a)/(1-a) , <t>= c/a, а функции X и Y существуют при 0<a<1.

Отметим, что функция Y(X) от масштабного параметра c не зависит, т.е. ABC-кривые для распределения (10) определяются только степенным показателем распределения a.

Распределение с плотностью (10) хорошо известно и в литературе по теории вероятностей и носит название распределения Парето, или гиперболического распределения. Такие распределения относятся к распределениям с «тяжелыми» хвостами, степенная скорость убывания плотности распределения (10) при больших значениях аргумента мала по сравнению с экспоненциальным затуханием, характерным для показательного, гауссовского и подобных распределений. У распределения Парето вероятность экстремально большого значения многократно выше, чем у распределений с экспоненциальным затуханием плотности, поэтому старшие вероятностные моменты у распределения Парето отсутствуют, в частности, при a<0,5 отсутствует (равна бесконечности) дисперсия, т.е. второй момент.

Итак, показано, что из гипотезы о самоподобии АВС-кривой, являющейся обобщением закона Парето, однозначно следует, что эта кривая имеет степенную зависимость, а распределение для амплитуды вклада от позиции является распределением Парето.

В таблице 2 представлены зависимости накопительного вклада от доли позиций в ассортименте для степенного закона (2) при ряде значений параметра a. Цветом выделены значения, соответствующие классическому закону «20/80».

Таблица 2.

Сравнение с фактическими данными

Обратимся к реальным данным, полученным при анализе объемов отгрузки со складов ряда компаний разного профиля. Для изучения степенных зависимостей удобно перейти к логарифмам величин или к логарифмическим координатам. В этом случае степенные зависимости переходят в линейные, а наклон прямых определяется значением степенного показателя. На рис. 2 представлены те же данные по объему отгрузки со складов дистрибьюторских компаний, что и на рис. 1, но в логарифмических координатах.

I-1-L 0,01

X

Рис. 2. Объем отгрузок в логарифмических координатах

Рис. 2 показывает, что в реальных ситуациях область ABC-кривой, определяемая «хвостами» распределения, т.е. элементами с максимальным вкладом, дающими 30-65% совокупного результата (примерно 3-10%

Наличие такой зависимости, характерной для различных бизнесов, позволяет надеяться на возможность построения теоретической модели спроса в многономенклатурной дистрибуции.

Заключение

В работе рассмотрены две формулировки закона Парето. В узком понимании этот закон является констатацией наличия дисбаланса во многих процессах, причем его количественное выражение может значительно отличаться от классического закона «20/80». В обобщенном понимании закон Парето приводит к самоподобию ABC-кривой и может послужить отправной точкой при построении модели многономенклатурного спроса. На примере ряда дистрибьюторских компаний проанализированы возможности использования обобщения закона Парето. В заключение хотелось бы подчеркнуть, что ABC-анализ, ставший в современной логистике практически рутиной, существенно более глубок и информативен, чем принято считать.

ассортимента), действительно удовлетворительно описываются несамоподобной степенной зависимостью Y(X) = BXa, где степенной параметр a принимает значения от 0,33 (кривая 5) до 0,8 (кривая 2).

В таблице 3 представлены значения параметров a и B для компаний 1-5.

Таблица 3