универсальные закономерности? Повторяемость (или неслучайность) функции Y(X) должна свидетельствовать о наличии некоторого механизма, определяющего статистическую зависимость между спросом на различные ассортиментные позиции. Ниже будет показано, что такие закономерности в логистических процессах действительно существуют.

Обобщение закона парето или самоподобие кривой Лоренца

Сформулируем теперь гипотезу, обобщающую закон Парето. Предположим, что числовые характеристики дисбаланса (не обязательно 20:80) не меняются, если рассматривать не весь ряд значений, а лишь некоторую долю первых членов последовательности. Из сделанного предположения следует вполне определенный функциональный вид ABC-кривой, причем оказывается, что любая ее часть геометрически подобна всей кривой, поэтому это предположение можно назвать гипотезой о самоподобии кривой Лоренца.

Универсальный вид ABC-кривой - степенная зависимость

Предположим, что в произвольной выборке позиций, отсортированных по убыванию их «мощности», вклад первых позиций, составляющих долю к (0 < к < 1) в ассортименте, обеспечивает долю l (0 < l < 1) в суммарном эффекте. Значения параметров к и l в предлагаемой гипотезе не фиксируются, в частности, для классического закона «20/80» к=0,2, l=0,8.

Обобщение закона Парето математически будет выражаться следующим образом. Существуют постоянные к и l такие, что:

Y(kX )= lY(X) при 0 <X <1(1).

Функциональное уравнение (1) при некоторых естественных ограничениях имеет единственное решение:

Y(X) = Xa , где a=ln(l)/ln(k).(2).

Для доказательства справедливости последнего утверждения представим функцию Y(X) в виде:

Y(X) = XaZ(X)(3).

Подставляя выражение (3) в уравнение (1), для функции Z(X) получим:

Z(kX)= Z(X)(4).

Если предположить, что функция Z(X) непрерывна в окрестности X=0, то нетрудно показать, что Z(X) = const, а поскольку Y(1)=1, то Z(X)=1, что и доказывает единственность решения (2).

Для классического закона «20/80» степенной параметр a имеет следующее значение: a= ln(0,8)/ln(0,2)~0,139.

Одним из распространенных практических способов применения ABC-анализа в логистике является разнесение ассортиментных позиций по группам A, B и C по их накопительному вкладу в суммарный эффект. Обычно к группе A относят позиции, дающие 80% эффекта и, как правило, составляющие около 20% позиций. К группе B обычно относят позиции, чей вклад в результат вместе с позициями группы A составляет 95%, причем в группу B обычно входит около 30% ассортимента. На 50% ассортимента, входящего в группу C обычно остается около 5% результата. При степенном законе (2) для кривой Лоренца одновременное выполнение соотношений 20/80 и 50/95 невозможно, поскольку первое из этих соотношений реализуется при a~0,139, а второе - при a~0,07.

Распределение вероятностей результата - распределение Парето

Найдем, как должны быть распределены значения вкладов от различных ассортиментных позиций, чтоб ABC-кривая (кривая Лоренца) имела степенной вид (2).

Пусть p(t) - плотность распределения ассортиментных позиций по величине их эффекта. По определению плотности распределения, или частоты, доля ассортимента, попадающего в интервал (t, t+dt) составляет p(t)dt. Тогда величины X и Y будут определяться выражениями:

ОО

X (T) = j p (t )dt

Y (T) =-ftp (t )dt

(5),

где <t >-jtp(t)dt - нормировочный множитель, обеспечивающий

0

выполнение соотношения Y(T=0)=1. Из свойств нормировки плотности распределенияp(t) следует X\T=0=1.

Уравнения (5) и (6) определяют параметрическое представление функции Y(X).

Для нахождения плотности p(t) продифференцируем выражение (2) по параметру T. Из формул (5) и (6) очевидно следует:

dX - -P(T)

dT(7) dY = - Tp (T)

dT ~ < t >(8).

Сокращая в полученном выражении левую и правую части на функцию p(T), получим T=a<t>X-1 при р(Т)Ф 0. Выражая величину X через параметр T, найдем:

X=(a<t>)u<1-aTu(1-a(9).

Дифференцируя выражение (9) по T и используя уравнение (7), окончательно получим

= 0,б < c (10).

p (T)