[стр.-1]
Таким образом, получаем, что A = -2(i.
4. Тогда связь напряжений со скоростями деформаций будет:
f ды i ды.
дх1 J
А уравнения движения вязкого газа приобретут вид:
р
дх,
k J
дР дх
дх.
(
ды i ды.
дх,дх
2*k £Л
дх1 J
(1)
(2)
В соответствии с (2) правые части (зависящие от вязкости) будут:
F 2 д (ду Fx =-2-( -
дх уду
fду+
дх
F,
д
- М
дх
дм Л ды Л
ду
д f ду дх
ду
ду
F,
д f ды
дх
Если положить,
что
дм
дх J ду ( = const
„ д f дм ды 2-(I - + -
ду удz дх
ду Л дz
д f ды (I
f дм
ду
(
(
ду
д f ды 2(
дх
дм дх
+ дУ дz J
ду
(3)
то после
простых преобразований проекции
объемных вязких сил (3) могут быть представлены в виде :
д дх
д
(Ау - (-divV, Fz = (А
ду
д
Aw - (-
divV.
(4)
от
Отсюда следует, что вектор объемной вязкой силы будет зависеть только завихренности: F = (AV - (graddivV = -(rotrotV,(5)
а уравнения движения вязкого газа (2) могут быть сведены к обобщенному уравнению Гельмгольца, например [5], для вязкой несжимаемой жидкости, которое представляет собой уравнение переноса и диффузии вихрей вследствие трения.
Функцию диссипации E механической энергии в соответствии с тензором скоростей деформации (1) нельзя выразить в виде суммы квадратов элементов скоростей деформаций, но можно представить как сумму квадрата вихря вектора скорости и якобианов скоростей в следующем виде:
f ду ды ды ду Л fды дм ды дм Л (дм ду ду дм Л
E = ((rotV) + 4(
дх дудхду
дz дх дх дz
ду дz ду дz
(6)
Заметим, что выражение (6) совпадает с выражением диссипации механической энергии в несжимаемой жидкости:
E = (
fду дх
ды Л ду
ды
\2
: ((rotV)2 + 4(
ду ды дхду
дм Л
ддх J
ды дм дz дх
2(
2
(
-4(1
ды ду дхду
ды \
дх J
ды дм дх дz
ду Уду J
дм )
Ik J
2
дм + дуЛ
дмдуЛ ду дz у
Если считать, как в динамике идеального газа, что в дозвуковой области якобианы положительны и не могут менять знак, например [6], то выражение (6) не может быть отрицательным при M < 1. Если же завихренность исчезает, то течение становится потенциальным, уравнения (2) обращаются в уравнения Эйлера и
дудмЛ ду дz
понятие диссипации энергии вследствие вязкости теряет смысл. Однако неотрицательность функции E в вязком газе требует специального рассмотрения.
5. Дж.Бэтчелор [7] обращал внимание на противоречие, которое он считал кажущимся, что в несжимаемой жидкости при постоянной вязкости, с одной стороны, напряжения возникают вследствие деформаций и не зависят от локальной завихренности, но, с другой стороны, что результирующая сила вязкости на единицу объема пропорциональна производной от завихренности по координатам.
Отмеченная Бэтчелором особенность не является противоречием, она имеет место и в газе: как было показано объемная вязкая сила уравнений (2) при М = const также может зависеть только от завихренности (5). Эта особенность -следствие возможной двойственности описания динамики жидкости и газа: с одной стороны, - уравнение Навье-Стокса, основанное на связи вязких напряжений с симметричным тензором скоростей деформаций, с другой стороны - обобщенное уравнение Гельмгольца диффузии завихренности. Возможность различной интерпретации динамики жидкости следует из простого примера течения между двумя параллельными плоскостями. Такое течение является не только сдвиговым, но и завихренным, поэтому напряжение трения может быть выражено не только
через деформацию сдвига, но и через rotV :
-U ( rotV ) = U-.
Поскольку практически все вязкие течения характеризуются возникновением и диффузией завихренности, то возникает вопрос: нельзя ли установить уравнения движения вязкого газа, используя связь напряжений только с антисимметричным
тензором скоростей деформаций:
ди ди,
\дхк
Для ответа на этот вопрос рассмотрим выражения (4) проекций вязких сил уравнения (2). После несложных преобразований выражения (4) можно представить в другом тождественном виде:
д f ду
Fx
U -
ду
дх
дх
д f ду дх
Fz =-М
дм \ д f дм?
д f ди
дх удг дх j ду У ду
ди\ | + и | д | дм\ | |
дх j | ||||
д | fдм | -ду\ | ||
ду | \ |
(7)
Заметим, что такое же выражение сил может быть получено из уравнений Навье-Стокса и для несжимаемой жидкости. Из (7) следует:
1.входящие в проекции сил компоненты rotV являются удвоенными элементами антисимметричного тензора скоростей деформаций;
2.нормальные составляющие сил отсутствуют.
Если считать, что напряжения, возникающие в движущемся газе, зависят только от завихренности, то получим:
(
дх, дх.
тензор касательных напряжений.
(8)
j
Тогда уравнения движения приобретут простой вид
(
р
ды
ды
дх.
диссипация
E = 2(A2 = 2(
механической
дР дх
дх,
(
ды, ды.
V
дх,дх
дм ду
J
энергии
2
ды дм V + 1 дz дх J 2
будет
ду
дх
J
выражаться
(9)
через rotV
((rotV )2
(10)
Заметим, при постоянной вязкости уравнения (2) и (9) совпадают и различие обоих подходов проявляется только в функциях диссипации механической энергии (6) и (10). В соответствии с выражением (10) вязкие напряжения в движущейся среде не возникают в случаях, когда течение становится безвихревым и, следовательно потенциальным, а уравнения движения обращаются в уравнения Эйлера. В отличие от движений вязкой несжимаемой жидкости, в которых диффузия завихренности завершается только асимптотически, например [6], в вязком газе завихренность может исчезать на звуковой линии. И, таким образом, звуковая линия будет геометрическим местом точек, в которых не только M = 1, но и rotV = 0.
Использование аксиоматики, основанной на связи напряжений с антисимметричной частью тензора скоростей деформаций, позволило установить уравнения движения вязкого газа (9). Эти уравнения отражают, в частности, тот факт, что вязкость проявляется в движущейся среде не одномерным образом. Поэтому, нормальные напряжения равны нулю (тТ = 0), и дивергенция скорости не
входит в уравнения. (Исключением могут быть такие движения, когда необходимо привлекать вторую вязкость [2]).
Двойственность описания динамики жидкости и газа может быть исключена, если принять, что в движущейся вязкой среде имеют место только касательные напряжения, зависящие от антисимметричной части тензора скоростей деформаций.
Находит новое обоснование граничное условие равенства нулю тангенциальной скорости на стенке. Выделенный в газе цилиндр, касающийся стенки, под действием касательных сил трения качения как бы катится по стенке. Мгновенная ось вращения проходит через точку касания цилиндра со стенкой и скорость этой точки (как следует из динамики твёрдого тела) равна нулю.
Литература
Аэрофизика и прикладная математика",
1.Ракогон Ю.Г., Труды МФТИ. Серия часть I, 1975.
2.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М., 1953. З.Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М., 1963. 4. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М. Наука, 1981. 5.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1957.
6.Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика М., 1953. 7.Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., 1973
а
