Функции Gkm из правых частей вычисляются через предудущие поправки; например, при k =1 они имеют вид:

G10 =f (т) cos(a - П),

Gn = - 2и ОстПию - 0nS100CT W - OqD10OaW,(3

G1m = - 0-2 U1,m-2 - 2u0<rnU1,m-1 -

- 0nS1,m-10CTW - 0nD1;m-10AW, m > 2.

На каждом шаге правые части содержат пару коэффициентов Skm, Dkm рядов (3 3) Эти коэффициенты определяются одновременно с решениями Ukm из секулярных условий (2 10)

Для решений уравнений (3 5) доказывается следующее утверждение:

Теорема 2. Для исходного уравнения (1.1) существует асимптотическая замена вида (3.1) такая, что усредненные уравнения на новые неизвестные A, П не содержит быстрой переменной a.

Для решения Ukm и коэффициентов Dkm, Skm верно: Ukm G A1-k, Dkm G A1-k,

Skm G A- k.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из лемм 2, 3, если доказать, что Gkm G A1-k. Эта формула доказывается индукцией по k.

Из представления (3.6) функций G1m видно, что требуемая асимптотика верна. Докажем ее для Gkm при k > 1.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для всех k < n и докажем ее для k = n. Функция Gnm состоит из дух частей - первая G1nm возникает из-за нелинейности V(u) в исходном уравнении, втораяиз-за оператора полной

производной по t. Для функции G1nm имеем:

G1 =- VV(W) V V U- и- u- =

1=2ii+i2+...+ii=n ji+J2+-+3i=m

n

= - E V+1 (a, A)E A1-t1 U.i,-i A1-*2 U,2,2... A1-*1 =

1=2ii+i2+...+ii=n ji+J2+...+Jl=m

n

= £ A1-nGnm(a, Пт) G A2-n. 1=2

Для второй части G2nm можно легко убедится, что G2nm G A1-n, следовательно:

G = G1 + G21-n.

Gkm = Gkm + Gkm G A .

Теорема доказана.

Как видно из полученных результатов, коэффициенты асимптотических рядов (3.1), (3.3) имеют особенности при A - 0. Их происхождение связано с асимптотикой энергии E(A) = A2/2 + O(A3), A - 0. В частности, коэффициент S10 w A-1 при A - 0. Более точно:

Следствие 2.1. Для коэффициента S10 верна следующая формула:

S10(П,A,T ) =--2E (A)-+ 0(l), A - 0.(3.7)

Эта формула играет важную роль в дальнейших построениях Итогом данного параграфа являются усредненные уравнения (3.3).

4 Идентификация промежуточной переменной.

Целью данного пункта является редукция усредненных уравнений (3.3) после выделения в них главных членов асимптотики. При построении асимптотики для этих уравнений возникает новая переменная е1/21, которая является медленной по отношению к t и быстрой по отношению к т = et.

Полученные выше усредненные уравнения (3.3) содержат малый параметр. Из них требуется извлечь асимптотику функций П, е), A(t, е) при е - 0 на достаточно далеких временах t = O(e-1). На первый взгляд эти уравнения весьма похожи на уравнения в переменных действие-угол с малым возмущением. Однако, резонансное условие а = -(A) - Ф(т) = о(1),е - 0 делает непригодным известные подходы [9]. Кроме того, надо иметь в виду, что для функций A(t,e), П,е) известна структура асимптотики при е - 0, которая возникает из требования согласования со внутренним разложением.

С учетом этих двух обстоятельств сделаем преобразование уравнений (3.3), выделив главные члены асимптотик:

A = Ao(t )+ е7/12\(т )A1 (t,e),(4.1)

П = По(т)+ е7/12П,е).(4.2)

Здесь A0(т), П0(т) описывают амплитуду и сдвиг фазы в главном; функции A1, П1 описывают поправки; множитель \(т) добавлен для удобства, выражение для него будет предъявлено чуть позже.

Подставим выражения (4.1), (4.2) в уравнения (3.3), получим:

+ е7/12= eDlо(По, Л, т) + о(е),

dt

еП0 + е1/12 = -(Ao) - Ф(т) + e7/12-(Ao)XAx + O(e).

Здесь использовалась явная формула (3.2) и разложение функций -(A), D10(A, П, т) при е - 0 в окрестности точки П0, A0. Предполагая, что в первом выражении производная e7/12dt(XA1) имеет меньший порядок при е - 0, чем е и приравнивая нулю выражения при старших степенях е получаем алгебраические уравнения для определения A0, П0:

-о) = Ф(т),(4.3)

-/(т )-(Ao(t ))Ao(t )sin = 2E(Ao)A0(t ).(4.4)

При получении уравнения (4.4) использовалась явная формула для D10. Решения этих уравнений берутся в качетсве главных членов в (4.1), (4.2). Для разрешимости полученных алгебраических уравнений необходимы некоторые дополнительные условия на исходные данные.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда существует т* > 0 такое, что при т £ [0, т*] уравнения (4.3),(4.4) разрешимы в классе гладкш функций, причем А0(т) > 0.

Доказательство. Так как и(А0) - гладкая функция от А2,, то (4.3) можно решать относительно А. Воспользуемся теоремой о неявной функции. При т = 0 имеем решение А0(0) = 0. В силу условий теоремы имеет место неравенство:

ди3V(4)(0) - 5(V"(0))2 =0

dR(0)48~7 = 0

Так как Ф"(0) = 0, Ф ;(0) = 6ф(0) = 0, то решение уравнения (4.3) относительно А20 представляется гладкой функцией с выделенным множителем т2, т.е. А02(т) = т0(т), R0(0) = 0. При достаточно малых т имеем:

А2

6ф(0)

7

Так как при выполнении первого из условий теоремы правая часть равенства положительна, то можно извлечь корень из обеих частей равенства и получить представление для решения уравнения (4.3):

Ао(т) = ту R (т) = тА1о(т). Уравнения (4.4), очевидно преобразуется к виду:

2E (Ас(т ))А0(т)

sinQ0 = -

/ (т )и(Ао(т ))Ао(т)

(4.5)

(4.6)

Для локальной разрешимости этого уравнения в окрестности точки т = 0 необходимо, чтобы модуль правой части при т = 0 был меньше 1. В силу (4.5) и с учетом условий теоремы имеем место неравенство:

lim

т=0

2E (Ао(т ))А0 (т)

/ (т )и(Ао(т ))Ао(т)

2А0(0)

/ (0)и(Ао(0))

lim

т=0

А0(т)

2л/6Ф(0)/7

I/(0)

< 1,

следовательно уравнение (4.4) разрешимо. Так как правая часть (4.6) гладкая функция, то корень Г20(т) также является гладкой функцией в достаточно малой окрестности нуля. Теорема доказана.

В дальнейшем всюду предполагаем, что условия теоремы 1 выполнены.

2