Определение 1. Обозначим через (P) и \P] среднее по периоду от P и интеграл от функции P без среднего значения:

(P) = I P(а)<1а, \P] (а) = Jo (P(а) - (P))da>.

Нас интересуют ограниченные периодические по а решения уравнения (2.4). Известно [11], что ограниченные решения существует лишь при выполнение условия:

(Wa G) = 0.(2.5)

Обозначим через C2 величину, определяемую правой частью уравнения из соотношения

\WaG] (а) - ujWA(a)G(a)} + JC2 = 0.(2.6)

Тогда общее периодическое можно записать в виде:

Q = (Wa(а)(с1 + - \\WaG]] (а) - \WaG] (а)) +

V V j)(2.7)

+WaH(C2 + \WaG] (а)))/E(A).

Оно содержит одну произвольную константу Ci.

Из соображений метода согласования удобно использовать решение, которое не содержит первых гармоник, т.е. решение удовлетворяющее условиям

(Q) cos а) = 0, (Qsin а) = 0.(2.8)

Эти требования можно рассматривать как уравнения на константы Ci,C2. В таком случае выражение (2.6) следует трактовать, как условие на правую часть G; A) уравнения (2.4).

Эти рассуждения можно сформулировать в виде следующего утверждения:

Лемма 2. Для уравнения (2.4) существует единственное ограниченное 2п периодическое решение (2.7), не содержащее первых гармоник, тогда и только тогда, когда выполняются условия (2.5),(2.6). Параметры Ci,C2 однозначно определяются из условий (2.8).

Как видно из приведенной леммы, для построения периодического решения линеаризованного уравнения требуется выполнение двух условий для правой части. В конструкциях, которые приводятся ниже, на каждом шаге правые части уравнений содержат два произвольных параметра D, S в весьма специфическом виде:

G, A) =F(а, A) - 2-S3,2.W - D(-daW + 2-5actW).(2.9)

Требования (2.5),(2.6) приводят к однозначному определению этих параметров. В следующей лемме приведены выражения для этих параметров и их асимптотики при A -> 0, а также найдена асимптотика решения уравнения (2.4). Введем определение:

Определение 2. Обозначим через An, n G Z множество функций, зависящих от A и возможно от других переменных со следующим свойством. Функция F(A) G An -ФФ- F(A) = AnF(A), где F(A) гладкая функция разлагается в ряд Тейлора при A - 0.

В терминах элементов этого пространства с различными n будут выписываться коэффициенты асимптотических рядов.

Лемма 3. Пусть правая часть уравнения (2.4) имеет вид (2.9). Тогда для периодичности решения (2.7), не содержащих первых гармоник, необходимо выбрать S, D следующим образом:

D = u}(A){Wa (a,A)F (a, A))/E (A),(2.10а)

S = «w(A) \WaF] (a) - u(A)WA(a,A)F(a, A)) + u(A)C-) /E(A). (2.10б)

Если F(a, A) G An, тогда L(a, A) G An, D(A) G An, S(A) G An-1.

Доказательство. Из условий (2.5),(2.6) после некоторых упрощений получаются формулы (2.10). Из гладкости и асимптотик при A - 0 для функций E(A) и W(a, A) имеем:

da W = AWi(a,A), Oa W = W2(a,A), E = AEF(A).

Здесь и всюду ниже функции с волной - гладкие функции своих аргументов. Поэтому из формул (2.10а), (2.10б), (2.7) последовательно определяются:

D = AnD (A), S = An"lF(A), L = AnL(a, A).

Лемма доказана.

3 Усреднение в быстрой переменной.

Целью данного пункта является переход к усредненным уравнениям. Для рассматриваемого уравнения (1.1) с внешней осциллирующей силой существует много решений с двухфазной асимптотикой [12]. В данной работе мы интересуемся однофазными решениями, которые выделяются резонансным условием близости собственной и вынуждающей частоты: u(A) - -(т) <С 1. В качестве главного члена асимптотического решения берется решение невозмущенного уравнения с медленной деформацией параметров:

и w W(a,A), a = e"1-(т) + Q(t,e), A = A(t,e).

Как видим структура быстрой фазы a w e 1 - (т) фиксируется в главном.

Переход от исходного уравнения (1.1) к усредненным уравнениям осуществляется посредством замены

u(t, е) = U(а, A, П, т,а,е), т = et, а = -(A) - Ф(т),

где n(t,e),A(t,e) новые неизвестные переменные. Как это делается в похожих задачах [10] замена выбирается не точной, а асимптотической:

те те

U(а, П, A, т, е, а) = W (а,Л) ек атикт(а, Q,A,t ), еа - 0. (3.1)

k=i m=0

В отличие от известных методов [10] предлагаемый анзац содержит разложение по малой величине

а = -(A) - Ф(т),(3.2)

которая априори неизвестна, поскольку функцию A(t, е) еще предстоит найти. Такой подход значительно упрощает изложение и позволяет найти эффективные асимптотические формулы.

Здесь и ниже все ряды понимаются как асимптотические; вопрос о сходимости рядов не обсуждается.

Целью замены является переход к таким уравнениям для A, П, которые бы не содержали зависимости от быстрой переменной а. Такие уравнения обычно называются усредненными. Они являются отдаленными аналогами уравнений эйконала и переноса в методах типа ВКБ:

Л{£~1Ф) + П) = -(A) + £ £ екA, т),(3.3а)

k=1 m=0

dAтете

-jt = Е Е екаmDкm(П, A, т).(3.3б)

к=1 m=0

На данном этапе вычисляются коэффициенты рядов (3.1),(3.3). Дополнительным ограничением является требование периодичности функций икт(а, П, A, т) по быстрой переменной а. Именно это (секулярное) условие, вместе с требованиями отсутствия первых гармоник, приводит к однозначному определению коэффициентов рядов (3.1),(3.3).

С учетом замены уравнение на U(а, A, П, т, а, е) приобретает вид:

+ V(U) = 4е/ о«(а - П).(3.4)

Здесь оператор полной производной по t от функции U выписывается обычным образом с учетом зависимости от t всех переменных.

Рекуррентная система задач для Ukm получается обычным образом. Зависимость от быстрой переменной а находится из линейных уравнений:

-202аUkm + V(W)Ukm =A, П, T) - 2-SkmW-

-Dm (-(A)da W + 2-da OaW ) ,k > l,m > 0.(. )